Transporte vibratorio - Parte 3
Parte 3: análisis más detallado del sistema masa-resorte considerando las predicciones teóricas para las oscilaciones forzadas y su relación con las oscilaciones naturales.
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Step 1: Funcionamiento por prueba y error
Nuestro primer logro fue que la mesa vibre indefinidamente y transporte un objeto sobre ella.
Sin embargo, para alcanzar este primer logro quizás hubo que superar situaciones poco intuitivas como, por ejemplo, que la mesa vibre unos instantes para luego dejar de hacerlo o reducirse apreciablemente la amplitud de sus oscilaciones.
Esto pudo habernos llevado a cambiar la masa rotante y/o su velocidad, e inclusive la rigidez de los resortes. En cualquier caso, aunque hayamos logrado que funcione por prueba y error, no alcanzamos un entendimiento del fenómeno que nos permita manipularlo sistemáticamente.
¿Necesitamos manipularlo sistemáticamente? Para respondernos olvidemos la teoría y el ámbito académico y pensemos en un entorno industrial real. Si estamos frente a una máquina que encontramos en desuso, sin manuales ni información sobre su funcionamiento, e inclusive, parcialmente desarmada, con algunos elementos dañados o faltantes (como su motor eléctrico, por ejemplo)... no parece adecuado intentar la "prueba y error" porque modificar masas, rigideces, velocidades y otros parámetros no es sencillo y rápido como en el entorno virtual de SW Motion. Se hace necesario tener una muy buena aproximación predecible teóricamente y, solo para los detalles finales, quizás usar la prueba y error, sabiendo entre qué márgenes de cambio el fenómeno no se hará impredecible.
De eso se trata este tutorial: observar/medir lo hecho y compararlo con las predicciones teóricas para un sistema masa-resorte que oscila forzadamente, de modo que comprendamos los parámetros que dominan este fenómeno. Inclusive, es posible comprobar en el Motion los valores teóricos que generan situaciones problemáticas como las de disminución de la amplitud de las oscilaciones, o su crecimiento desmedido (resonancia).
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Step 2: Análisis del resultado obtenido
Primero observemos los parámetros utilizados para la simulación que funcionó gracias a la "prueba y error":
Y ahora observemos más en detalle el resultado obtenido, a través de gráficas del desplazamiento según la horizontal "X" y la vertical "Y". En primera instancia, sin hacer retoques al entorno de SW Motion, podríamos encontrarnos con algo como lo mostrado en esta figura:
A simple vista estas gráficas no parecen muy claras ni demasiado útiles. Podemos empezar por mirarlas con un zoom más ampliado:
Estas gráficas tienen dos problemas:
- muestran demasiadas ondas que, por lo tanto, se ven muy angostas y se hace imposible apreciar su período.
- para cada onda es insuficiente la cantidad de "frames per second" que se capturaron para dibujarla, provocando que sus máximos y mínimos sean, en apariencia, muy variables. Los "frames" muy espaciados no coincidieron con el momento en que la onda pasa por su máximo o mínimo real. Los cálculos internos de posición, velocidad, etc. se hacen en fracciones de tiempo muy pequeñas, pero las "instantáneas que se graban para los gráficos" se hacen con mucho menos frecuencia para evitar que el proceso sea lento al grabar en disco (100 fps en este caso):
Si, por ejemplo, lo seteamos en 500 fps y recalculamos la simulación, al mostrar los mismos gráficos podremos notar una mejor definición de las ondas (cuyos máximos y mínimos se han regularizado). Inclusive, para observar aún mejor el fenómeno, el cálculo se ha interrumpido a los 2 segundos (en lugar de a los 24 segundos) de modo que se muestre una cantidad limitada de ondas y se puedan apreciar mejor:
Otro problema para la observación es que el eje vertical de las gráficas puede no pasar por cero y sus valores máximos y mínimos ser asimétricos, obligándonos a calcular la amplitud por diferencia entre sus picos. Esto se debe a la elección de la superficie en la que se mide el desplazamiento, que se ha hecho al momento de crear el gráfico.
Al margen de esto, se puede apreciar que al inicio del proceso existe un "transitorio" en el cual la amplitud y frecuencia de las ondas parecen caóticas, para luego regularizarse aproximadamente a partir de 0.5 segundos, arrojando un período T = 0.2 seg y una amplitud A = 4mm.
En el tutorial previo habíamos calculado las frecuencias naturales de vibración de la mesa, que arrojaron los siguientes valores:
Frecuencia angular w = Raíz ( 20.000 N/m / 3.1 Kg ) = 80.32 rad/seg
Período Tw = 2 * PI / Frecuencia angular = 2 * PI / 80.32 = 0.078 seg
Frecuencia por segundo Fw = 1 / T = 1 / 0.078 = 12.82 Hz
Pero estamos forzando vibraciones a través de un excitador (una masa rotante en nuestro caso) que genera movimientos a otra frecuencia "p":
Frecuencia angular p = 300 rpm = 300 * 2 * PI rad / 60 seg = 31.41 rad/seg
Período Tp = 2 * PI / 31.41 = 0.20 seg
Frecuencia por segundo Fp = 1 / 0.20 = 5 Hz
Este período forzado Tp es el que observamos en la simulación, luego de un breve transitorio de 0.5 segundos. Es decir que el sistema masa-resorte con vibraciones forzadas responde a la frecuencia del excitador, más allá del valor de su propia frecuencia natural.
Pero entonces ¿qué rol juega la frecuencia natural del sistema masa-resorte?
Según la teoría, es vital "la relación Fp/Fw" entre ambas frecuencias, forzada y natural, y tiene incidencia sobre "la amplitud de la oscilación forzada C" según un coeficiente conocido como "Crecimiento de las oscilaciones o Amplificación dinámica" Beta = Amplitud C / flecha estática Xest = 1 / ( 1 - (Fp/Fw)^2 ).
En nuestro caso, el coeficiente de amplificación dinámica arroja:
Beta = 1 / ( 1 - (5 Hz / 12.78 Hz )^2 ) = 1.18
Y la "flecha o deformación estática Xest" que provoca la masa rotante puede calcularse a partir de la "Fuerza = aceleración centrípeta * masa rotante" (el valor del "R" del radio de la masa rotante se fijó en 35mm para esta simulación):
F = w^2 * R * Mr = ( 31.41 rad/seg )^2 * 0.035 m * 2 Kg = 69 N
Dicha fuerza dividida por la rigidez de los resortes (horizontales o verticales, que son idénticos en este caso) da como resultado dicha "flecha estática":
Xest = 69 N / 20.000 N/m = 3.45 mm
Finalmente, de la expresión del "Beta" puede despejarse el valor de la amplitud "C" de la onda forzada:
C = Beta * Xest = 1.18 * 3.45mm = 4.07 mm (que es la amplitud que observamos en las gráficas tanto del movimiento vertical como del horizontal)
En la siguiente parte se resumen los conceptos teóricos que justifican las expresiones de la amplitud de las oscilaciones forzadas.
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Step 3: Breve resumen teórico
Para recordar el origen de las predicciones teóricas (muy efectivas) del paso previo, tomamos unos breves pasajes del capítulo 10 "OSCILACIONES ELASTICAS" del Manual de Resistencia de Materiales de Pisarenko, Yákovlev y Matvéev:
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Step 4: Próximos pasos
